Nhà toán học Việt Nam có khám phá kép, giúp trường đại học Mỹ duy trì vị thế dẫn đầu thế giới về đại số

"Một giáo sư tại Đại học Rutgers-New Brunswick, người đã dành cả sự nghiệp của mình để giải quyết những bí ẩn của toán học, đã giải quyết được hai vấn đề cơ bản riêng biệt từng khiến các nhà toán học bối rối trong nhiều thập kỷ", theo Phys.org, một trang tin khoa học của Vương quốc Anh đưa tin ngày 9/10.

Giáo sư đó chính là Phạm Hữu Tiệp, nhà toán học Việt Nam sinh năm 1963, từng là cựu học sinh trường THPT Chu Văn An, Hà Nội.

Bình luận của Phys.org được đưa ra sau khi giáo sư Phạm Hữu Tiệp công bố một bài báo khoa học mới trên tạp chí Annals of Mathematics số tháng 9. Bài báo này đã đưa ra lời giải cho một vấn đề toán học đã tồn tại gần 7 thập kỷ, được đặt ra bởi nhà toán học lỗi lạc người Mỹ gốc Đức Richard Brauer vào năm 1955.

"Lời giải cho những vấn đề đã tồn tại quá lâu này có thể nâng cao hơn nữa hiểu biết của chúng ta về tính đối xứng của các cấu trục và vật thể có trong tự nhiên và khoa học, cũng như hiểu biết về hành vi lâu dài của nhiều quá trình ngẫu nhiên phát sinh học các lĩnh vực từ hóa học và vật lý kỹ thuật cho đến khoa học máy tính và kinh tế", Phys.org viết.

Mở một nút thắt đã tồn tại 70 năm trong toán học

Bài toán của Brauer được gọi là "Giả thuyết cao độ 0", trong đó, Brauer dự đoán rằng đối với bất kỳ nhóm hữu hạn G và p nguyên tố nào, một số tính chất số học của các biểu diễn không thể chia nhỏ hơn của nhóm G trong một phần đặc biệt gọi là khối p-block B, phải được kiểm soát bởi các nhóm khuyết tật (D).

Hiểu một cách đơn giản, đây là một dự đoán của Brauer trong một lĩnh vực gọi là "lý thuyết nhóm" của đại số, liên quan đến việc biểu diễn các đại lượng theo nhóm. 

Nhóm là một tập hợp các đối tượng mà chúng ta có thể kết hợp lại với nhau theo một quy tắc nào đó, ví dụ, khi bạn xoay một hình vuông 90 độ, 180 độ, hoặc 270 độ. Các cách xoay này tạo thành một "nhóm" vì chúng có thể kết hợp lại với nhau và tuân theo một số quy tắc nhất định.

Khi các nhà toán học nghiên cứu nhóm, họ thường muốn biểu diễn các nhóm này bằng cách dễ hiểu hơn. Một cách phổ biến là dùng ma trận (một bảng số) để biểu diễn nhóm. Biểu diễn của nhóm có nghĩa là viết ra các phần tử của nhóm (như các cách xoay hình vuông) bằng cách dùng các ma trận.

"Giả thuyết cao độ bằng 0" của Brauer nói về độ phức tạp của các "mảnh" trong biểu diễn của nhóm. Khi chúng ta phân tích một nhóm ra thành những phần nhỏ hơn và đơn giản hơn (giống như chia một bức tranh ghép thành các mảnh ghép), mỗi mảnh có một cao độ, là một số không âm.

Giả thuyết này nói rằng với một số nhóm nhất định, tất cả các mảnh nhỏ đó đều có độ cao bằng 0, nghĩa là chúng đơn giản nhất có thể, nhưng chỉ khi nhóm đó thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

Cho đến gần đây, giả thuyết của Brauer mới chỉ là phỏng đoán. Nghĩa là Brauer nghĩ là nó đúng, các nhà toán học đã thử nghiệm vô số trường hợp và thấy là nó đúng. Nhưng để chứng minh được giả thuyết này đúng thì không thể.

"Một số nhà toán học có trí tuệ hiếm có [như Brauer] cứ như là họ đến từ một hành tinh khác hoặc một thế giới khác. Họ có khả năng nhìn thấy những thứ ẩn giấu mà những người khác không thể", giáo sư Phạm Hữu Tiệp nói về cách mà Brauer đưa ra giả thuyết của mình từ năm 1955.

"Một giả thuyết là một ý tưởng mà bạn tin rằng nó đúng ở một mức độ nào đấy. Nhưng các giả thuyết phải được chứng minh", ông cho biết thêm.

Trong nghiên cứu mới của mình đăng trên tạp chí Annals of Mathematics, giáo sư Phạm Hữu Tiệp và các đồng nghiệp bao gồm Gunter Malle từ Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern ở Đức, Gabriel Navarro từ Đại học València ở Tây Ban Nha và Amanda Schaeffer Fry, cựu sinh viên sau đại học của mình, hiện đang làm việc tại Đại học Denver đã chứng minh hoàn toàn giả thuyết cao độ 0 của Brauer.

Thành công này được đánh giá là đã cởi bỏ được một nút thắt vô cùng quan trọng trong lý thuyết nhóm đã tồn tại suốt 70 năm qua.

Giúp trường đại học Mỹ duy trì vị thế dẫn đầu thế giới trong một lĩnh vực đại số

Nhưng đó không phải là thành tựu đáng nể duy nhất của giáo sư Phạm Hữu Tiệp. Cách đây 2 tháng, ông cũng vừa công bố một nghiên cứu khác trên tạp chí Annals of Mathematics số tháng 7. Trong đó, giáo sư Phạm Hữu Tiệp cũng đã giải thành công một bài toán khó được gọi là lý thuyết Deligne-Lusztig.

Đó cũng là một bài toán trong lý thuyết biểu diễn nhóm. Bước đột phá này liên quan đến vết (trace) của ma trận. Vết của một ma trận là tổng các phần tử đường chéo của nó và là một khái niệm quan trọng của đại số tuyến tính.

Với việc làm rõ được lý thuyết Deligne-Lusztig, giáo sư Phạm Hữu Tiệp cho biết lời giải của ông có thể cung cấp các hiểu biết sâu sắc, giúp các nhà toán học khác giải quyết được nhiều vấn đề lớn khác trong toán học, bao gồm các giả thuyết do nhà toán học John Thompson của Đại học Florida và nhà toán học người Israel Alexander Lubotzky đưa ra.

Nhận định về hai nghiên cứu mới của giáo sư Phạm Hữu Tiệp, Stephen Miller, giáo sư danh dự và Trưởng khoa Toán học tại đại học Rutgers-New Brunswick, cho biết: "Công trình chất lượng cao và chuyên môn của giáo sư Tiệp về nhóm hữu hạn đã giúp Đại học Rutgers duy trì vị thế là trung tâm hàng đầu thế giới về lĩnh vực này.

Một trong những thành tựu vĩ đại của toán học thế kỷ 20 là sự phân loại các nhóm hữu hạn 'đơn giản', chúng được gọi như vậy nhưng có lẽ đã được đặt sai tên [vì thực ra chúng rất phức tạp]. Những phát hiện thú vị và tiên phong nhất trong lĩnh vực này đã được dẫn dắt bởi Đại học Rutgers. Thông qua sự nghiệp đồ sộ đáng kinh ngạc của mình, giáo sư Tiệp đã giúp khoa Toán của chúng tôi hiện diện được trên trường quốc tế".

Cả hai đột phá của giáo sư Phạm Hữu Tiệp đều là những tiến bộ quan trọng trong lĩnh vực lý thuyết biểu diễn của các nhóm hữu hạn, một tập hợp con của đại số. Lý thuyết biểu diễn là một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học, bao gồm lý thuyết số và hình học đại số, cũng như trong khoa học vật lý, bao gồm vật lý hạt.

Thông qua các đối tượng toán học được gọi là nhóm, lý thuyết biểu diễn cũng đã được sử dụng để nghiên cứu tính đối xứng trong các phân tử, mã hóa thông điệp và tạo ra các mã sửa lỗi.

Theo các nguyên tắc của lý thuyết biểu diễn, các nhà toán học lấy các hình dạng trừu tượng tồn tại trong hình học Euclid—một số trong đó cực kỳ phức tạp—và biến đổi chúng thành các ma trận số. Điều này có thể đạt được bằng cách xác định các điểm nhất định tồn tại trong mỗi hình dạng ba chiều trở lên và chuyển đổi chúng thành các số được đặt trong các hàng và cột của ma trận.

Giáo sư Phạm Hữu Tiệp cho biết phép toán ngược lại cũng phải có hiệu quả. Người ta cần có khả năng tái tạo hình dạng từ chuỗi số. Và để làm được điều đó, các lý thuyết biểu diễn nhóm cần phải được phát triển.

"Tôi hy vọng sẽ thúc đẩy được lĩnh vực này", giáo sư Phạm Hữu Tiệp nói.

Nghiên cứu toán bằng bút và giấy

Giáo sư Phạm Hữu Tiệp sinh năm 1963, là cựu học sinh trường Chu Văn An, Hà Nội. Ông tham gia Olympic Toán học quốc tế (IMO) tổ chức tại Anh năm 1979 và giành Huy chương Bạc.

Năm 1980, ông sang học khoa Toán - Cơ, Đại học Tổng hợp Lomonosov, Liên Xô cũ. Tốt nghiệp đại học năm 1985, ông làm tiếp nghiên cứu sinh và bảo vệ luận án phó tiến sĩ (nay gọi là tiến sĩ) năm 1989, rồi luận án tiến sĩ (nay gọi là tiến sĩ khoa học) năm 1991.

Năm 1996, ông sang Mỹ và làm việc tại nhiều trường đại học như Đại học Ohio, Đại học Florida, và Đại học Arizona. Năm 2013, ông được bầu làm hội viên danh dự Hội Toán học Hoa Kỳ. Từ năm 2018 đến nay, giáo sư Phạm Hữu Tiệp công tác tại Đại học Rutgers, và làm cộng tác với Viện nghiên cứu khoa học toán học (MSRI) Berkeley, Viện nghiên cứu cao cấp Princeton.

Trong suốt sự nghiệp toán học của mình cho tới nay, giáo sư Phạm Hữu Tiệp đã xuất bản được 5 cuốn sách chuyên khảo cùng hơn 200 bài báo khoa học trên các tạp chí toán hàng đầu thế giới.

Không giống như nhiều đồng nghiệp thường sử dụng các thiết bị phức tạp để làm việc, giáo sư Phạm Hữu Tiệp cho biết ông chỉ sử dụng bút và giấy để tiến hành nghiên cứu. Ông luôn viết xuống các công thức toán học hoặc các câu biểu thị chuỗi logic, sau đó tham gia vào các cuộc thảo luận liên tục với các đồng nghiệp, cả trực tiếp và trực tuyến qua Zoom.

Tuy nhiên, giáo sư Phạm Hữu Tiệp cho biết các khám phá của ông thường sẽ nảy sinh tại thời điểm mà ông ít mong đợi nhất. "Đó có thể là lúc mà tôi đi dạo với các con, hoặc làm vườn với vợ, hoặc hí hoáy gì đó trong bếp. Vợ tôi nói cô ấy luôn biết khi nào thì tôi đang nghĩ về toán", ông nói.