1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … bằng mấy? Các nhà toán học đã cãi nhau hơn 300 năm về kết quả của phép tính này

Đây là một bài toán mà bất cứ ai cũng có thể giải quyết: 1-1= bao nhiêu?

Đáp án dĩ nhiên là 0.

Có gì khiến chúng ta phải lăn tăn về câu trả lời đó không? Không! Tại tất cả các vũ trụ song song, có lẽ 1-1 không thể khác 0 được.

Nhưng bây giờ, chúng ta hãy thử cộng thêm 1, tổng 1-1+1 sẽ tăng lên bằng 1. Và chúng ta lại trừ đi 1 một lần nữa, 1-1+1-1 trở lại bằng 0. Đến đây thì mọi thứ vẫn ổn. Nhưng hãy thử lặp đi lặp lại phép tính đó đến vô cùng:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...

Tổng cuối cùng sẽ là bao nhiêu?

Câu hỏi có vẻ đơn giản, thậm chí nhiều người cho rằng đó là một phép tính ngớ ngẩn. Nhưng đừng bao giờ khinh thường sự phức tạp của toán học. Chính phép tính này dã làm đau đầu không biết bao nhiêu thế hệ nhà toán học, triết học và thậm chí cả các nhà tu hành.

Nếu bạn cứ suy nghĩ về đáp án của phép tính này đến cùng tận, nó sẽ dẫn bạn rơi vào sự nghi ngờ nhân sinh quan, chẳng hạn như: "Liệu có một Thượng Đế đã tạo ra vũ trụ hay không? Liệu có các vũ trụ song song đồng thời tồn tại? Liệu ở một vũ trụ khác, kết quả của đáp án ấy có khác đi?

Bạn có tin không? Nếu không, hãy thử xem.

Hãy tưởng tượng bạn đang ở trong trường quay của chương trình "Ai là triệu phú". Người dẫn chương trình đưa ra câu hỏi: 1-1+1-1+1- … bằng mấy? Và dưới đây là 4 lựa chọn:

A. 0

B. 1

C. ½

D. Không bao nhiêu cả.

Nếu bạn chọn đáp án A. 0 thì có lẽ bạn đã có một lập luận hết sức đơn giản. Đó là hãy nhóm từng số hạng của phép tính lại: (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ...

Hãy nhớ rằng trong toán học, thứ tự thực hiện phép tính yêu cầu chúng ta phải thực hiện phần bên trong dấu ngoặc trước khi tính phần bên ngoài. Khi đó, mỗi phép trừ trong ngoặc (1 – 1) đều cho kết quả bằng 0. Cuối cùng, phép tính sẽ trở thành 0 + 0 + 0 + …, rõ ràng là bằng 0.

Tuy nhiên, chúng ta thử thực hiện một sự thay đổi nhỏ về dấu ngoặc ở đây xem sao. Thay vì ghép hai số đầu tiên vào thành một cặp, chúng ta hãy thử ghép số thứ 2 và thứ 3, từ đó cho tới hết. Phép tính lúc này trở thành: 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + …

Một lần nữa, tất cả các phần trong ngoặc cộng lại bằng 0, nhưng chúng ta có thêm một số 1 ở đầu. Điều này dẫn tới toàn bộ biểu thức cộng lại thành 1. Đáp án B hóa ra cũng có thể đúng.

Đến đây, bạn có thể sẽ hỏi rốt cuộc ai đã nghĩ ra trò oái oăm này?

Các tài liệu toán học cho thấy chuỗi số vô hạn này được Luigi Guido Grandi, một nhà toán học nhưng cũng là một nhà tu hành người Ý phát biểu vào năm 1703. Chuỗi đó sau đó được đặt theo tên ông, chuỗi Grandi.

Chính Grandi là người đã phát hiện ra cùng một chuỗi số này, bằng cách di chuyển các dấu ngoặc lùi một số hạng hoặc tiến một số hạng, ông có thể làm cho chuỗi số cộng lại bằng 0 hoặc 1. 

Theo nhà sử học toán học Giorgio Bagni, sự không nhất quán về số học này có ý nghĩa thần học đối với Grandi, người tin rằng nó cho thấy việc tạo ra thứ gì đó từ hư vô là "hoàn toàn hợp lý". Grandi lấy cơ sở đó để giữ cho mình niềm tin về một Thượng Đế đã tạo ra thế giới.

Việc chuỗi số Grandi cộng lại bằng 0 và bằng 1 rõ ràng là một mâu thuẫn. Nhưng chắc chắn, nó còn chưa mâu thuẫn bằng đáp án C. ½.

Làm thế nào mà một tổng của vô số số nguyên lại có thể bằng một phân số? Nghe vô lý hết sức, nhưng cuối cùng thì chính Grandi và nhiều nhà toán học nổi tiếng ở thế kỷ 18 sau đó đã nói rằng tổng của dãy số này phải bằng một nửa.

Grandi lập luận cho điều này bằng một câu chuyện ngụ ngôn: 

Hãy tưởng tượng một gia đình có hai anh em thừa kế một viên ngọc từ cha họ để lại. Mỗi người sẽ được phép giữ nó trong nhà mình trong một năm, sau đó phải chuyển giao cho người còn lại. Nếu truyền thống trao đổi viên ngọc qua lại này tiếp tục với con cháu của họ, thì cả hai gia đình đều chỉ có 1/2 quyền sở hữu đối với viên ngọc.

Nghe có vẻ chưa thuyết phục lắm. Nhưng cùng câu trả lời đó được diễn giải bởi Gottfried Wilhelm Leibniz, nhà triết học và toán học xác suất người Đức sẽ khiến bạn cảm thấy xuôi tai hơn: Leibniz lập luận rằng nếu bạn cứ cộng chuỗi số này và dừng lại ở một điểm ngẫu nhiên nào đó, thì tổng mà bạn nhận được ở thời điểm đó sẽ bằng 0 hoặc bằng 1.

Xác suất của các kết quả này là bằng nhau. Vì vậy, theo các nguyên lý của toán xác suất, bạn sẽ phải lấy trung bình tất cả các kết quả để có được kết quả cuối cùng. Khi đó, tổng chuỗi Grandi sẽ bằng ½.

Mặc dù Leibniz nghĩ rằng kết quả trên ông đưa ra là đúng. Nhưng nhà toán học người Đức cũng phải thừa nhận rằng lập luận của ông "có tính siêu hình học hơn là toán học". Để giải quyết tính siêu hình đó thì hơn một nửa thế kỷ sau, nhà toán lý Leonhard Euler người Thụy Sĩ đã xuất bản một nghiên cứu đưa ra một lời giải vô cùng chặt chẽ và phức tạp để chứng minh 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... bằng một nửa.

Ông đã xuất bản lời giải dài 33 trang trong một bài báo năm 1760 với tựa đề "De Seriebus divergentibus" (tạm dịch là Về chuỗi số phân kỳ). Trong đó, Euler khẳng định "không còn gì phải nghi ngờ, thực sự chuỗi số 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … và phân số 1/2 là hai đại lượng tương đương".

Vì vậy, trở lại với câu hỏi của Ai là triệu phú, nếu bạn sử dụng sự trợ giúp hỏi ý kiến khán giả trong trường quay, rất nhiều người thông minh sẽ nghiêng về đáp án C. 1/2.

Trên thực tế, sự khó hiểu về các chuỗi số đến vô cùng đã làm rối trí từ khi toán học được phát minh, hoặc ít nhất cũng từ thời Hy Lạp cổ đại. Bạn còn nhớ Nghịch lý Achilles và con rùa không?

Achilles, một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người hùng trong trận chiến thành Troia và được mệnh danh là người "có đôi chân chạy nhanh như gió" đang đuổi theo một con rùa trên đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, Achilles chấp rùa một đoạn bằng a mét và a khác 0 đồng thời tốc độ của cả hai đều không đổi.

Bước đầu tiên để thắng và vượt được rùa, Achilles phải bắt kịp rùa trước đã. Trớ trêu thay, mặc dù anh ấy chạy nhanh thật đấy, nhưng mỗi khi Achilles rút ngắn khoảng cách giữa mình và con rùa xuống một nửa, con rùa chậm chạp lại chạy thêm được một quãng đường ngắn nữa.

Achilles lại phải chạy thêm một khoảng một nửa của khoảng cách đó để mong bắt kịp rùa, nhưng trong khoảng thời gian đó, con rùa lại chạy thêm được một đoạn nhỏ. Mọi chuyện cứ lặp lại như thế mãi, cho nên Achilles thực sự không bao giờ bắt kịp được con rùa chứ đừng nói là vượt qua để chiến thắng.

Câu chuyện được kể bởi triết gia người Hy Lạp Zeno của xứ Elea vào năm 400 trước Công Nguyên hàm chứa một nghịch lý mà sau này đã trở thành ví dụ kinh điển trong toán vi tích phân, giải thích khi nào thì một chuỗi số vô hạn cộng lại sẽ được một kết quả hữu hạn.

Và chúng ta sẽ đến với khái niệm tổng riêng thứ n của một chuỗi số. Giả sử bạn có một chuỗi số vô hạn, tổng riêng thứ n (S_n) của chuỗi số đó được tính bằng tổng của n thành phần đầu tiên trong chuỗi số. Ví dụ S₂ là tổng của hai số đầu tiên, S₃ là tổng của 3 số đầu tiên, S₅ là tổng của 5 số đầu tiên, cứ thế đến vô tận.

Nếu những tổng trung gian này liên tục được tính ra và chúng ngày càng tiến gần hơn và gần hơn tới một giá trị cố định, thì chúng ta nói rằng chuỗi số "hội tụ" về giá trị đó. Hãy áp dụng điều này cho chuỗi số trong Nghịch lý Zeno, cộng lại nửa con đường cộng một phần tư của con đường cộng một phần tám của con đường, và cứ thế:

½ + ¼ + ⅛ + 1/16 + …

Hai thành phần đầu tiên cộng lại thành S₂= 0.75, ba thành phần đầu tiên cộng lại thành S₃= 0.875, và bốn thành phần đầu tiên cộng lại thành S₄= 0.9375. Nếu chúng ta cộng 10 thành phần đầu tiên, chúng ta sẽ có S₁₀= 0.9990234375.

Những tổng riêng thứ n tiếp tục như vậy và tiến đến gần hơn giá trị 1. Vì vậy chúng ta có thể nói chuỗi số hội tụ về 1. Mặc dù chúng ta có thể hình dung một con đường là một số lượng vô hạn khoảng cách, vi tích phân xác nhận rằng nó cuối cùng vẫn cộng lại thành một con đường.

Bây giờ, chúng ta quay trở lại với chuỗi chuỗi số Grandi. Nếu tính tổng riêng thứ n của chuỗi 1-1+1-1+1-…, S_n sẽ dao động giữa 0 và 1 mà không bao giờ tập trung về một giá trị nào cả. Vì vậy, các nhà toán học hiện đại sẽ chọn lựa chọn phương án D. Không bằng bao nhiêu cả.

Việc giải quyết chuỗi số Grandi đặt ra một câu hỏi mang tính xã hội học. Tại sao cộng đồng toán học lại chấp nhận cách giải của tổng riêng thứ n mà không chấp nhận lập luận xác suất của Leibniz hay một số định nghĩa khác của việc cộng chuỗi số vô hạn?

Một phần câu trả lời nằm ở chỗ: Việc cộng một chuỗi số vô hạn không phải là một phép cộng thực thụ - mặc dù hình thức nó trông có vẻ giống nhau.

Một trong những tính chất cơ bản của phép cộng là kết quả của nó sẽ không thay đổi khi bạn thay đổi hoặc di chuyển dấu ngoặc. Ví dụ 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3. Nhưng trong nhiều chuỗi số bao gồm cả chuỗi số của Grandi thì vị trí dấu ngoặc lại làm thay đổi kết quả.

Hóa ra, các nhà toán học chỉ đang mượn khái niệm "cộng" và "bằng" từ phép cộng để thảo luận về chuỗi số sao cho thuận tiện hơn. Còn về bản chất, một chuỗi số không thể "cộng" lại được, chúng chỉ có thể "hội tụ" lại một giá trị.

Khi ta nói một chuỗi số hội tụ về một giá trị thay vì có tổng bằng một giá trị, nó có khả năng giải quyết nhiều mâu thuẫn của các chuỗi số vô hạn mà các nhà toán học trước đây đã không thể giải quyết trong suốt hàng thế kỷ.

Nhưng với các chuỗi số không hội tụ như chuỗi Grandi thì sao?

Các nhà toán học vẫn có thể có cách tính ra tổng của nó, hay nói cách khác, tìm giá trị hội tụ của chuỗi. Phương pháp này được gọi là tính tổng Cesàro, đặt theo tên người phát minh ra nó, nhà toán học Ý Ernesto Cesàro sống ở thế kỷ 19.

Cesàro nói rằng nếu một chuỗi số vô hạn, không hội tụ theo cách thông thường, tức là không tiệm cận một giá trị cụ thể khi số hạng ngày càng tăng, ta vẫn có thể tính tổng của nó bằng cách xét trung bình của các tổng riêng thứ n của chuỗi.

Ví dụ, thay vì hỏi S_n, phương pháp tổng Cesàro lấy trung bình của S₁ và S₂, sau đó là S₁, S₂ và S₃, sau nữa là S₁, S₂, S₃, S₄ cứ thể để xem các tổng riêng này hội tụ về đâu?

Điều thú vị là nếu bạn áp dụng phương pháp này cho một chuỗi số hội tụ như chuỗi số của Zeno, nó sẽ luôn cho bạn câu trả lời giống nhau. Tuy nhiên, đôi khi nó sẽ cho một câu trả lời khác khi áp dụng cho chuỗi số không hội tụ theo định nghĩa chuẩn. Cụ thể, chuỗi số của Grandi có tổng Cesàro là 1/2.

Càng ngày, các nhà toán học càng sáng tạo ra nhiều phương pháp tính tổng cho các chuỗi số. Ngay cả khi chúng đôi khi cho kết quả khác nhau trên cùng một chuỗi, điều đó không tạo ra mâu thuẫn nếu mọi người quy ước trước về định nghĩa mà họ sử dụng.

Nhưng có một điều kỳ lạ là: Hầu hết các cách tính tổng của chuỗi Grandi đều cho kết quả ½. 

Vì vậy, nếu thực sự phải đưa ra một đáp án nôm na cho câu hỏi ở đầu chương trình "Ai là triệu phú này", 1-1+1-1+1-…. bằng mấy? Thì đáp án cuối cùng sẽ là: Chuỗi Grandi không có tổng bằng bất kỳ số nào, nhưng nếu có thì tổng đó phải bằng ½.

Toán học sẽ chỉ giúp được bạn đến vậy thôi. Trở lại trường quay của chương trình Ai là triệu phú, nếu bạn còn sự trợ giúp 50/50, lời khuyên là hãy sử dụng nó thử xem sao.